Question

已知函数f(x)=x|x+a|-1/2lnx(1)若a=1,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)求函

已知函数f(x)=x|x+a|-1/2lnx(1)若a=1,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程(2)求函数f(x)的极值点(3)若f(x)＞0恒成立，求a的取值范围

Answer 1

1)a=1
f(x)=x|x+1|-1/2lnx
因为定义域为x>0
故f(x)=x(x+1)-1/2lnx
f(1)=2
f'(x)=2x+1-1/(2x)
f'(1)=2+1-1/2=5/2
切线方程为y=5/2*(x-1)+2
即y=5x/2-1/2
2)若a>=0,
则f(x)=x(x+a)-1/2lnx
f'(x)=2x+a-1/(2x)=(2x²+2ax-1)/(2x)
在定义域x>0得极小值点为x1=[-a+√(a²+2)]/2
f(x1)=1/2-1/2ln{[-a+√(a²+2)]/2}
若a<0,则
当x>=-a时，f(x)=x(x+a)-1/2lnx
得极小值点x1=[-a+√(a²+2)]/2
当0<x<-a时，f(x)=-x(x+a)-1/2lnx
f'(x)=-2x-a-1/(2x)<0,没极值点
综合得:f(x)的极值点为
f(x1)=1/2-1/2ln{[-a+√(a²+2)]/2}
3)由2)，须有f(x1)>0
即1/2-1/2ln{[-a+√(a²+2)]/2}>0
即[-a+√(a²+2)]/2<e
即a²+2<(2e+a)²
得:a>(1-2e²)/(2e)