Question

求dx/dy-2yx=2ye^(y²)的通解。谢谢！

Answer 1

先求齐次方程 dx/dy-2yx=0的通解：
分离变量得：dx/x=2ydy；积分之得：lnx=y²+lnc₁，故x=c₁e^(y²)；
将c₁换成y的函数u，得x=ue^(y²)............①
两边对y取导数得：dx/dy=(du/dy)e^(y²)+2yue^(y²)..........②
将①②代入原式并化简得：(du/dy)e^(y²)=2ye^(y²);
因为e^(y²)≠0，故可消去e^(y²)得 du/dy=2y，du=2ydy；∴u=y²+c；
代入①式即得通解：x=(y²+c)e^(y²)；

Answer 2

x = f(y), 则此微分方程是一阶线性的，可以用积分因子的方法求解。
积分因子：e^∫-2ydy = e^(-y^2)
x =e^(y^2) [∫e^(-y^2) 2ye^(y²) dy + c] = e^(y^2) [y^2 + c]

Answer 3

令u=y^2,dx/dy=dx/du*du/dy=2ydx/du
方程化为dx/du-x=e^u
解得x=ue^u+C
即方程通解为x=y^2e^(y^2)+C