Question

求dy-ydx=0通解

Answer 1

这个方程变量已经分离,只要把y全部放在一边,x全部放在一边,再积分就可以得到通解.只不过做除法时候要讨论分母为不为零.
dy-ydx=0得到dy=ydx
①y恒等于0,此时必然是方程的解.
②y不总为0,在y≠0时,dy/y=dx两边积分得到ln|y|=x+C'（C是任意常数）也就是y=±C''e^x（C''=e的C'次方,是个正数）,这个解里面没有y=0的情形,符合我们的条件y≠0.
下面再化简一些,±C''中C''是正数,则整体±C''看成非零数即可；外加上①中y=0对应C''=0也是解,因此只要概括成y=Ce^x（C是任意常数）,就包含了所有情况.
于是通解y=Ce^x(C∈R,定义域为x∈R)
这道题虽然简单,但是要注意几个地方：①两边除以y的时候要讨论y是不是等于0,要不然会丢掉y恒等于0这个常数函数解；②一定注意1/x的不定积分是ln|x|,不要把绝对值落掉了；③做完可以进行整理,让形式尽可能简单,比如这道题,把正负号、情况①合并进去,概括成C是任意常数.