Question

A,B,C为双曲线(y^2)/12-(x^2)/13=1 的一支上的三点,点B纵...

A,B,C为双曲线(y^2)/12-(x^2)/13=1 的一支上的三点,点B纵坐标为6,且三点到点F（0,5）的距离成等差数列.求证：AC垂直平分线过一定点,并求该定点坐标.

Answer 1

定性分析：三点到焦点距离成等差数列事实上也就是三点到准线距离成等差数列,而B到准线距离显然是知道的,这样就可以知道A、C纵坐标之间的关系,于是就可以由这个条件求出其中垂线的方程,从而得定点.（部分计算省略,如有不明白的可在问题补充中说明,我不擅长打字……）设A(x1,y1),B(x2,y2)可以求得上准线方程y=12/5∴B到准线距离为18/5∴d1+d2=36/5（d1、d2分别为A、C到准线距离）∴y1+y2=12∵A、B在双曲线上∴(y1^2)/12-(x1^2)/13=1
(y2^2)/12-(x2^2)/13=1
两式相减可得(y1-y2)(y1+y2)/12-(x1-x2)(x1+x2)/13=0∴k=(x1+x2)/13（k为AC斜率）∴由中垂线方程y-(y1+y2)/2=(-1/k)(x-(x1+x2)/2),另x=0解得y=25/2∴AC中垂线过定点（0,25/2）
P.S.如果有不明白的地方可以在问题补充中说明.