Question

问两题高二数学

一.已知抛物线y^2=4ax(0<a<1)的焦点为F，以A(a+4，0)为圆心,|AF|为半径在x轴上方作半圆交抛物线物不同的两点M N ，设P为线段MN的中点， 1.求|MF|+|NF|的值 2.是否存在a值，使|MF| |PF| |NF|成等差数列?若存在，求出a值 二.已知动点P与双曲线x^2-y^2=1的两个焦点F1 F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/3 1.求动点P的轨迹方程 2.设M(0，-1)，若斜率为k(k不等于0)的直线l与P点轨迹交于不同的两点A B ，要使|MA|=|MB|，求k的取值范围

Answer 1

一,抛物线焦点(a.0)
准线方程x=-a
圆方程
(x-a-4)^2+y^2=16
①
y^2=4ax
②
联解①②得
x^2+2(a-4)x+a^2+8a=0
设M坐标为(x1,y1)
N坐标(x2,y2)
x1+x2=8-2a
x1x2=a^2+8a
所以:
|MF|+|NF|=x1+a+x2+a=x1+x2+2a=8
若|MF|
|PF|
|NF|是等差
2|PF|=(|MF|+|NF|)=8
|PF|=4
所以P为圆心
根据中点坐标可得P横坐标为
4-a
4-a=a+4
a=0
与条件不符合
所以不存在
二.第一问明显P轨迹为椭圆
椭圆有一个性质就是当P点为椭圆与Y轴焦点时
角度最大
也就是余弦最小
cos∠F1PF2的最小值为-1/3
以及与双曲线同焦点
可以算出
a=根号3
c=根号2
所以b=1
p点轨迹方程
为
x^2/3
+y^2=1
第二问联解椭圆方程
设直线斜率为K
根据韦达定理来做就OK了