Question

高中数学题，求详解

第21题，第一问我做出来了就第2，3问不会，求大神给出详解，谢谢

Answer 1

(2)f(x)=a-2/(x-1)......因为后面都是在x>2的时候计算的，所以这地方绝对值直接打开了。
　　[a(x-1)-2]/(x-1)<x-1
　　a(x-1)<(x-1)²+2
　　a<(x-1)+2/(x-1)
　　因为(x-1)+2/(x-1)≥2√2，当x-1=√2即x=√2+1取等号(均值不等式)，符合x>2的范围。
　　所以得a<2√2
　(3)f(x)=2+b/x
　　1°.b>0,f(x)为减函数
　　
f(m)=n,f(n)=m
　　
得2+b/m=n,2+b/n=m
　　
所以b=m(n-2)=n(m-2)得m=n，不合题意
　　2°.b<0,f(x)递增
　　
f(m)=m,f(n)=n
　　
2+b/m=m,2+b/n=n
　　
所以b=m(m-2)=n(n-2)得(m+n)(m-n)=2(m-n)
　　
得m+n=2
　　
又0<m<n得0<m<2-m得0<m<1
　　
同理1<n<2....如果用下面的一方法做都不用写出来了
　　.......................接下来算b的范围有两种..........②看起来繁杂，凡是这种思路最好了解下。
　　
①b=m(m-2)=(m-1)²-1..结合0<m<1得-1<b<0
　　
②由2+b/m=m和2+b/n=n和0<m<1<n<2知：
　　
方程2+b/x=x即x²-2x-b=0有两个根，且两根分别位于(0,1)和(1,2)两个区间
　　
设g(x)=x²-2x-b=0,有g(0)>0且g(1)<0且g(2)>0
　　
解得-1<b<0
以上仅供参考，有问题可提出。