Question

关于数列极限的问题

如果当n→∞时，数列xn有极限，那么当n→∞时,是不是有xn=x(n+1)？

Answer 1

设等比数列
a(n)
的公比是q
；a(1)和q不等于0
；
a(n)
=
a(1)
*
q^(n-1)
；
S(n)
=
a(1)
*
(1-q^n)
/
(1-q)
；
当
n
趋于正无穷时，如果
a(n)
有极限，即
a(1)
*
q^(n-1)
极限存在，那么
0<|q|<1
，这样
S(n)
=
a(1)
*
(1-q^n)
/
(1-q)
极限存在，极限为
a(1)/(1-q)
；
即
数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的充分条件；
另一方面，当
n
趋于正无穷时，如果
S(n)
有极限，即
S(n)
=
a(1)
*
(1-q^n)
/
(1-q)
极限存在，那么
0<|q|<1
；
如果
0<q<1
，a(n)
=
a(1)
*
q^(n-1)
极限自然存在，极限为
0
；
如果
-1<q<0
，a(n)
=
a(1)
*
q^(n-1)
=
a(1)
*
(-1)^(n-1)
*
(-q)^(n-1)
极限存在，极限为
0
；
所以当
0<|q|<1
时数列
a(n)
极限存在；
即
数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的必要条件；
综上所述，数列a(n)有极限是数列S(n)有极限的充分必要条件。
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