Question

已知函数f(x)的导数f′(x)满足0

已知函数f(x)的导数f′(x)满足0＜f′(x)＜1，常数α为方程f(x)=x的实数根. (Ⅰ)若函数f(x)的定义域为M，对任意[a，b]⊆M，存在x0∈[a，b]，使等式f(b)-f(a)=(b-a)f′(x0)成立，求证:方程f(x)=x存在唯一的实数根α; (Ⅱ) 求证:当x＞α时，总有f(x)＜x成立; (Ⅲ)对任意x1、x2，若满足|x1-α|＜2，|x2-α|＜2，求证:|f(x1)-f(x2)|＜4.

Answer 1

解答:解:(I)设f(x)=x有不同于α的实数根β，即f(β)=β，不妨设β＞α，
于是在α与β间必存在c，α＜c＜β，
使得β-α=f(β)-f(α)=(β-α)f′(c)∴f′(c)=1，这与已知矛盾，∴方程f(x)=x存在唯一实数根α.
(II)令g(x)=x-f(x)
∴g′(x)=1-f′(x)＞0
∴g(x)在定义域上为增函数
又g(α)=α-f(α)=0∴当x＞α时，g(x)＞g(α)=0
∴当x＞α时，f(x)＜x、
(III)不妨设x1＜x2，∵0＜f′(x)＜1∴f(x)在定义域上为增函数
由(2)知x-f(x) 在定义域上为增函数、∴x1-f(x1)＜x2-f(x2)
∴0＜f(x2)-f(x1)＜x2-x1
即|f(x2)-f(x1)|＜|x2-x1|
∵|x2-x1|≤|x2-α|+|x1-α|＜4
∴|f(x1)-f(x2)|＜4.