Question

求证：C(n,0)^2+C(n,1)^2+……+C(n,n)^2=C(2n,n)。

Answer 1

首先看C(n,2n)。构造一个项C(n,2n)*t^n
容易看出这一项，是恒等式
(1+t)^2n=C(0,2n)*t^0+C(1,2n)*t^1+……+C(2n,2n)*t^2n
中的n次项
考察等式左边：(1+t)^2n=(1+t)^n*(1+t)^n
(1+t)^n=C(0,n)*t^0+C(1,n)*t^1+……+C(n,n)*t^n
把两个(1+t)^n的展开式的t的k次幂与t的n-k次幂相乘，使之得到t的n次幂：
也就是
[C(k,n)*t^k]*[C(n-k,n)*t^n-k]=[C(k,n)]^2*(t^n)
把所有这样的项相加，得到
C(0,n)^2+C(1,n)^2+……+C(n,n)^2=C(n,2n)
而这是t的n次幂的系数，应该等于右边的t的n次幂的系数，即C(n,2n)