Question

二重积分计算？

如图，请给出步骤！

Answer 1

原式=π/8，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 2

一、内容概要
1.二重积分的定义
定义 设函数在有界闭区域D上有定义.
分割 用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为.并以代表第i个小区域的面积.
求和 在每个小区域上任意一点作乘积，并求和
.
取极限 记为n个小区域中的最大的直径，如果
.
存在，且此极限值不依赖区域D的分法，也不依赖于点的取法，则称此极限值为函数在区域D上的二重积分，记为
，
称为面积元素.
2.二重积分的几何解释
由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为：
若在区域D上， ，则二重积分的值等于以区域D为底，以曲面为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D上， ，则二重积分的值的绝对值等于以D为底，以曲面为曲顶的直柱体体积，此时二重积分的值为负值.若在区域D上的某些子区域上，而另一些子域上，则二重积分的值等于这些子区域上，以为曲顶的直柱体体积的代数和，其中的直柱体体积值前取“+”，在的直柱体体积前取“-”.
3.二重积分的存在性
存在定理 若在闭区域D上连续，则在D上的二重积分必存在.
4.二重积分的性质
设下列被积函数都是可积的.
性质1 .
此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.
由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.
性质2

.
性质3 如果闭区域D由有限条曲线分为两个区域,则
.
性质4 若记区域D的面积为S，则
.
性质5 在D上若，则
,
.
性质6 若在D上有,则
,
其中S为区域D的面积.
性质7 设函数在闭区域D上连续，S为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使得
,
称此性质为二重积分的中值定理.
5.二重积分的计算
二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.

Answer 3

二重积分的计算方法

Answer 4

二重积分如何计算 二重积分计算方法为将其化为二次积分计算，重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

Answer 5

二重积分如何计算 二重积分计算方法为将其化为二次积分计算，重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。