Question

高二数学：立体几何问题？

Answer 1

1)，

∵PD丄平面ABCD，AB在平面ABCD内，

∴PD丄AB，

∵∠BAD=90°，

∴AB丄AD，

∵AD，PA在平面PAD内且AD∩PA=A，

∴AB丄平面PAD，

∵PD在平面PAD内，

∴AB丄PD。

2)，以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为Ⅹ，y，Z轴建系A一XyZ，

由题可知:B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，

∵AD丄平面PAD，

∴AD=(0，2，0)是平面PAB的一个法向量，

∵向量PC=(1，1，-2)，pD=(0，2，-2)，

设平面PCD的法向量为:m=(X，y，Z)，则

{m·PC=0

{m·PD=0，

∴

{Ⅹ+y-2Z=0，

{2y-2Z=0，

令y=1，则Z=1，X=1，

∴m=(1，1，1)，

∴cos<AD，m﹥

=(AD·m)/丨AD丨|m丨=√3/3。

所以所求平面和平面所成的锐二面角的余弦值为√3/3.

3)，

∵BP=（-1,0,2），设BQ=λBP=(-λ,0,2λ),(0≤λ≤1),

又CB=(0,-1,0),则CQ=CB+BQ=(-λ,-1,2λ),

又DP=((0,-2,2),

∴xos<CQ,DP>=(1+λ)/√(2+10λ²),

设1+2λ=t∈[1,3],则

cos<CQ,DP>=2t²/(5t²-10t+9)=2/[9（1/t-5/9)²+20/9]≤9/10,

∴仅当t=5/9,即λ=2/5时∣cos<CQ,DP>∣的最大值为3√10/10，

∵y=cosx在（0,π/2）是增函数，此时直线CQ与DP所成的角取到值，

∵BP=√(1²+2²)=√5,

∴BQ=2/5BP=2√5/5.