Question

求1^2+2^2+3^2+……+n^2 的和怎么计算，详细过程，谢谢Ծ‸Ծ

Answer 1

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。解题过程如下：
解：因为（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1

则（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-（n-1）^3=3（n-1）^2+3（n-1）+1
............
3^3-2^3=3*2^3+3*2+1
2^3-1^3=3*1^3+3*1+1
把等式两边同时求和得，
（n+1）^3-1^3
=（3n^2+3（n-1）^2+......+3*2^2+3*1^2）+（3n+3（n-1）+......+3*2+3*1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3（n+（n-1）+......+2+1）+n
=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
即，n^3+3n^2+3n=3（n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2）+3*n（n+1）/2+n
整理得，n^2+（n-1）^2+......+2^2+1^2=n(n+1)(2n+1)/6
即，1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 2

an

=n^2
=n(n+1) -n
=(1/3)[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)] -(1/2)[n(n+1)-(n-1)n]
1^2+2^2+3^2+……+n^2
=Sn
=a1+a2+...+an
=(1/3)n(n+1)(n+2) -(1/2)n(n+1)
=(1/6)n(n+1)[2(n+2)-3]
=(1/6)n(n+1)(2n+1)

Answer 3

公式：1²+2²+3²+....+n²=n（n+1）(2n+1)/6

∵（a+1）³-a³=3a²+3a+1
a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
……

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+。。。+n²）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1）
移项
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1）
3（1²+2²+3²+。。。+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n （等差数列求和）
6（1²+2²+3²+。。。+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1) =(n+1)[2(n+1)²-3n-2] =(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1] =n(n+1)(2n+1)
∴1²+2²+。。。+n²=n（n+1)（2n+1）/6.

Answer 4

解: 由恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1，知:
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
......
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1
把上述等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n， 整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6