Question

高等数学定积分计算概念问题？

请大神帮忙看看这几个定积分在利用凑微分法凑元时，哪些对应的上下限要改变，如果有的改变有的不变的话说明理由。 我一直是这么理解的，如果被积函数是关于x的复合函数则在凑微分时必须换上下限此时也可令为t，如果不是关于x的复合函数则不需要换也不能令为t，也不知道这么理解对不对。。

Answer 1

换元肯定需要将新的变量的积分上下限进行改变。

第一题，x=2t, 则上限x=1,t=1/2, 下限x=0, t=0, 所以新的上下限为(0,1/2)

原式变为 ∫(1,1/2) 1/2 *sinx dx

第二题，2x=t, 则上限x=e^2,t=2e^2, 下限x=0, t=0, 所以新的上下限为(0,2e^2)

原式变为 ∫(1,2e^2) 1/2 *e^t dt

第三题，x=（1+y^3）, 则上限y=1,x=2, 下限x=0, x=1, 所以新的上下限为(1,2)

原式变为 ∫(1,2) 1/3 *1/√t dt

如果被积函数是关于x的复合函数则在凑微分时必须换上下限此时也可令为t，如果不是关于x的复合函数则不需要换也不能令为t

首先，对于定积分，只要被积函数是同样的，积分变量使用x,t,m,k（任意的变量）是不影响最终的值。举个例子

∫(0,π)（sinx-x^3）dx  =∫(0,π)（sint-t^3）dt

其次，只要产生了换元，那么一定要将换元导致的积分上下限的变换体现出来。

比如原来 x的上下限为(a,b), 如果 令x=e^t， 则 新的积分变量t的上下限为(lna,lnb)

Answer 2

如果不改变积分变量，则不必变限。
如果改变积分变量，都必须相应变限，所谓没有变，仅是巧合， 即变后与原来相同。
2. I = ∫<0, e^2>e^(2x)dx = (1/2)∫<0, e^2>e^(2x)d(2x)
（不改变积分变量，则不必变限）
I = (1/2)[e^(2x)]<0, e^2> = (1/2)[e^(2e^2)-1]
如果改变积分变量，则必须相应变限，
I = (1/2)∫<0, e^2>e^(2x)d(2x) （令 u = 2x）
= (1/2)∫<0, 2e^2>e^udu = (1/2)[e^u]<0, 2e^2>
= (1/2)[e^(2e^2)-1]
3. I = ∫<0, 1>y^2dy/√(1+y^3)
= (1/3)∫<0, 1>d(1+y^3)/√(1+y^3)
（不改变积分变量，则不必变限）
= (2/3)[√(1+y^3)]<0, 1> = (2/3)(√2-1)
如果改变积分变量，则必须相应变限，
I = (1/3)∫<0, 1>d(1+y^3)/√(1+y^3) （令 u = 1+y^3）
= (1/3)∫<1, 2>du/√u = (2/3)[√u]<1, 2> = (2/3)(√2-1).

Answer 3