Question

导函数与原函数之间有界性有什么关系?

Answer 1

没有直接关系。f'(x)在(a、b)上有界，f(x)在在(a、b)一定有界，f(x)在(a、b)上无界，f'(x)在(a、b)上一定无界，在无穷区间上，以f(x)或f'(x)无界为条件分别推不出他们关于有界与无界的结论 。

若将一点扩展成函数f(x)在其定义域包含的某开区间I内每一个点，那么函数f(x)在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x)的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x)的导函数，记作：y'或者f′（x)。

函数f(x)在它的每一个可导点x。处都对应着一个唯一确定的数值——导数值f′（x)，这个对应关系给出了一个定义在f(x)全体可导点的集合上的新函数，称为函数f(x)的导函数，记为f′（x)。

相关信息

1、极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2、函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3、极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4、函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

Answer 2

导函数在开区间有界一定能推出原函数在开区间上有界，因为这点说明原函数的变化率是有限度的。
反之不成立