Question

数列的证明问题

Answer 1

(1)对任意r，t∈N*，都有Sr/St
=（r/t）²，
那么令r=n,t=1得，Sn/S1=n^2,Sn=n^2*a1.S1=a1
a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+1)^2a1-n^2a1=(2n+1)a1=a1+(n+1-1)(2a1)
{an}是首项a1,公差是d=2a1的等差数列
（2）a1=1,d=2,
bn=a(b(n-1))=a1+(b(n-1)-1)d=1+2b(n-1)-2=2b(n-1)-1
所以bn-1=2[b(n-1)-1]
即{bn-1}是等比数列，b(1)-1=3-1=2,q=2
bn-1=(b1-1)*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n
所以bn=2^n+1
(3)
回答人的补充
2009-04-22
22:53
Tn=a1×b1+a2×b2+…+an×bn
=1*3+3*5+...+(2n-1)*(2^n+1)
=1+3+5+...+2n-1+1*2+3*4+5*8+...+(2n-1)*2^n
=n^2+1*2+3*4+5*8+...+(2n-1)*2^n
设Gn=1*2+3*4+5*8+...+(2n-1)*2^n
2Gn=
1*4+3*8+...+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)
两式相减得，Gn=(2n-1)*2^(n+1)-2^(n+1)-2^(n)-...-2^3-2
=(2n-1)*2^(n+1)-8*(2^(n-1)-1)-2
=(n-1)*2^(n+2)-2^(n+1)+6
Tn=(n-1)*2^(n+2)-2^(n+1)+n^2+6

Answer 2

(1)由于
对于任意的r，t（r、t都是正整数）都有Sr/St=（r/t）^2
所以：Sn/S1=n^2
(n∈N+)
Sn=n^2S1
An=Sn-S(n-1)=(n^2-(n-1)^2)S1=(2n-1)A1
(n∈N+)
所以，An-A(n-1)=2A1
{An}是等差数列
(2)An=2n-1
所以，Bn=2B(n-1)-1
Bn-1=2(B(n-1)-1)
Bn-1=2^(n-1)
*(B1-1)=2^n
Bn=2^n+1
(3)
Tn=1*(2+1)+3*(2^2+1)+……+(2n-1)*(2^n+1)
=(1+3+……+(2n-1))+(1*2+3*2^2+……+(2n-1)*2^n)
前半部分容易算得，等于
n^2
，记后半部分为S
那么2S=
1*2^2+3*2^3+……+(2n-3)*2^n+(2n-1)*2^(n+1)
-S=S-2S=1*2+2*2^2+2*2^3+……+2*2^n-(2n-1)*2^(n+1)=2+8*(1-2^(n-1))/(1-2)-(2n-1)*2^(n+1)=-(2n-3)*2^(n+1)-6
S=(2n-3)*2^(n+1)+6
Tn=(2n-3)*2^(n+1)+n^2+6

Answer 3

1.令r=1
t用n代换
易得Sn=n^2·a1
Sn-1=(n-1)^2·a1
相减
得an=(2n-1)a1
是等差数列。公差为2a1
2.3.a1=1，数列An实际上为所有奇数
剩下的很好求了