Question

求定积分，求大神帮帮忙

Answer 1

如果有不懂的地方可以问我，觉得还可以的话，希望您能点个赞。

Answer 2

可以用三角换元法求解，

最后结果x是π/2。

Answer 3

Answer 4

可以用凑积分快速得解：
原积分 = ∫[0,2] -(1/2)(2-2x)√(2x-x^2) dx + ∫[0,2] √(2x-x^2) dx
= ∫[0,2] -(1/2)√(2x-x^2) d(2x-x^2) + ∫[0,2] √(2x-x^2) dx
= 0 + π/2 (前一项积分为零，后一项积分等于单位圆面积的一半。）

Answer 5

∫(0,2) x√(2x - x²) dx
= ∫(0,2) x√[- (x² - 2x + 1) + 1] dx
= ∫(0,2) x√[1 - (x - 1)²] dx
令x - 1 = sinθ,dx = cosθ dθ
x = 0 --> θ = - π/2
x = 2 --> θ = π/2
原积分=
∫(- π/2,π/2) (1 + sinθ)|cosθ| * cosθ dθ
= ∫(- π/2,π/2) (1 + sinθ)cos²θ dθ
= ∫(- π/2,π/2) cos²θ dθ + ∫(- π/2,π/2) sinθcos²θ dθ
= 2∫(0,π/2) (1 + cos2θ)/2 dθ + ∫(- π/2,π/2) cos²θ d(- cosθ)
= [θ + (1/2)sin2θ] |(0,π/2) - (1/3)[cos³θ] |(- π/2,π/2)
= π/2