Question

如何证明2元函数在某点处极限存在？

Answer 1

要证二元函数的极限存在，通常都是由放缩法出发，并通过极限存在的定义得到证明结果。比如一个简单的例子：z=(xy)^2/(x^2+y^2)
要证明当x,y->0是极限存在是由
|(xy)^2/(x^2+y^2)-0|<=|(xy)^2/(2xy)|=0.5|xy|=0，从而极限存在。
类似这种方法通常需要在不等式放缩方面有一定的熟练度。
还有另一种方法就是如果二元函数在某点可微那么也说明在该点连续。
验证是否可微就是另一套程序了。
这里多说一句：2楼所说的是二元函数在某点弱可微的定义，弱可微是得不到极限存在的。我可以通过直线接近某点，也可以通过曲线接近该点，光是与k无关事没有用的。