Question

高数积分问题，两道计算题，有答案？

没整明白积分咋算
第一题和第二题 没看明白答案啥意思呢
波浪线处咋划过来的。

Answer 1

利用幂函数积分公式 ∫u^a du = [1/(a+1)]u^(a+1) + C :

(1)   令 u = cosx + sinx，  积分变为

∫du/u^2 = ∫u^(-2)du = -u^(-1) + C = -1/(cosx+sinx) + C

(2)   {ln[x+√(x^2+1)]+5}' = {1/[x+√(x^2+1)]}[1+x/√(x^2+1)]

= {1/[x+√(x^2+1)]}[√(x^2+1)+x]/√(x^2+1) = 1/√(x^2+1),

故得  dx/√(x^2+1) = d{ln[x+√(x^2+1)]+5}，

 记 u = ln[x+√(x^2+1)]+5， 原积分化为

∫u^(1/2)du = (2/3)u^(3/2) + C = (2/3){ln[x+√(x^2+1)]+5}^(3/2) + C

追问

看不明白啊

追答

看补充的图片解答。

追问

现在我已经明白这两道题了

第二题 就是怎么才能想到 是把根号下x方加1 拿到d后面去呢

自己做怎么就没有这种思路呢

追答

关键你要熟悉知道 {ln[x+√(x^2+1)]}' = 1/√(x^2+1), 熟能生巧， 初学者难于不易掌握。
另外被积函数是 {ln[x+√(x^2+1)]+5}^(1/2), 很复杂，
要是能凑微分变为 d{ln[x+√(x^2+1)]+5} 就好了。 本题恰能凑成。

Answer 2

(1)利用∫du/u^2=-1/u+c.
(2)利用∫√udu=(2/3)u^(3/2)+c.

追问

不懂什么意思

追答

(1)设u=cosx+sinx,
(2)设u=ln[x+√(x^2+1)].
可以吗？