Question

当代数式|x-5|-x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是多少

当代数式|x-5|-x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是多少

Answer 1

|x-5|-|x+2|，以几何意义解答如下：
|x-5|-|x+2|相当于数轴上任意一点x到点5距离，减去该点x到点-2的距离
画图易知：x≤-2时，任意一点x到点5距离，减去该点x到点-2的距离的最大值为7
故：x≤-2
也可以分类讨论
①x≤-2时，|x-5|-|x+2|=-x+5+x+2=7
②-2＜x＜5时，|x-5|-|x+2|=-x+5-x-2=-2x+3
因为-2＜x＜5，故：-10＜-2x＜4
故：-7＜-2x+3＜7
③x≥5时，|x-5|-|x+2|=x-5-x-2=-7
故：|x-5|-|x+2|≤7
当|x-5|-|x+2|=7时，x≤-2

Answer 2

因此可以分为以下3个区间
(-无穷,-2),[-2,5],[5,正无穷]
依次代入为
5-x
-
(-x-2)
=
7
5-x
-
(x+2)
=
3-2x,因为x的范围是[-2,5],所以3-2x的范围是[-7,7]
x-5
-
(x+2)
=
-7
所以取最大值的范围是
(-无穷,-2],包括-2