Question

lim[m/（1-x^m）-n/（1-x^n）] X趋向于1 求不用洛必达法则的方法,还没学过

Answer 1

lim[m/（1-x^m）-n/（1-x^n）](x->1)
=lim{ [m*（1-x^n）-n*（1-x^m）]/[（1-x^m)*（1-x^n）]} (x->1)
由1-x^y=1-e^（yln x）,x->1时等价无穷小是-yln x；
所以有
lim{ [m*（1-x^n）-n*（1-x^m）]/[（1-x^m)*（1-x^n）]} (x->1)
=lim{ [m*（1-e^(n*ln x)）-n*（1-e^(m*ln x)）]/[m*n*lnx*lnx]} (x->1)
将lnx换为x,则有x->0+
原式=lim{ [m*（1-e^(n*x)）-n*（1-e^(m* x)）]/[m*n*x^2]} (x->0+)
=lim{ -[m*ne^(n*x)+n*me^(m* x)）]/[2m*n*x]} (x->0+)
=lim{ -[m*n^2*e^(n*x)+n*m^2*e^(m* x)）]/[2m*n]} (x->0+)
=(m-n)/2
最后用了洛必达法则