Question

高等数学(一)函数、极限、连续

Answer 1

定义1、若对于每个数x∈D，变量y按照一定的规则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)，常称x为自变量，y为因变量，D为定义域

①符号函数

　②取整函数

表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，其基本不等式

　③狄里克雷函数

定义2、设y=f(u)的定义域为D _f ，u=g(x)的定义域为D _g ，值域为R _g ,若D _f ∩R _g ≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)和u=g(x)的符合函数，其定义域为{x|x∈Dg，g(x)∈D _f }

定义3、设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Ry，若对任意y=Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)，则记为x=f ^-1 (y)并称其为y=f(x)的反函数

定义4、将幂函数（y=xμ）、指数函数（y=ax），对数函数（y=logax），三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx），反三角函数（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx）称为基本初等函数【熟记图像，定义域值域】

若对于区间I上任意两点x1<x2恒有f(x1)<f(x2)单调增，f(x1)>f(x2)单调减

常见的奇函数：

若存在T>0,对于任意x，恒有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数，使上式成立的最小正数T称为最小正周期

若存在M>0,使得对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在x上为有界函数

∀ε>0,∃N>0，当n>N时，恒有|X _n -A|<ε

∀ε>0,∃x>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε

∀ε>0,∃x>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ε

∀ε>0,∃x>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε

∀ε>0,∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε

若存在N：当n>N时，x _n ≤y _n ≤z _n ，且

则

单调有界数列必有极限

则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o[β(x)]

则称α(x)是β(x)的低阶无穷小

则称α(x)是β(x)的同阶无穷小

则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记为α(x)~β(x)

特别地，若

则称α(x)是β(x)的k阶无穷小

在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大

若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则limα(x)β(x)=e ^A

且limα ₁ (x)/β(x)=A≠-1，则α(x)+β(x)~ α ₁ (x)+ β ₁ (x)

若limf(x)=limg(x)=0(∞)，且f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可导，且g’(x)≠0，limf'(x)/g'(x)存在(或无穷)，则

其中R _n (x)=o(x-x ₀ ) ⁿ

常用的不等式：

定义1、若

则称y=f(x)在点x ₀ 处连续

若f(x)在x ₀ 的某去心领域内有定义，但在x ₀ 处不连续，则称x ₀ 为f(x)的间断点