Question

如果展开（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,x^2的系数是3，那么自然数k的值是( ) A 2 B 3 C 4 D 5

Answer 1

解法一：
(1+x)^2·(1-x+x^2)^k =(1+2x+x^2)·[1+(x^2-x)]k,其中x^2系数必与[1+(x^2-x)]^k中x^0，x^1, x^2系数有关.又由 (1-x+x2)^k的通项得：x^0的系数为1，x的系数为-k，x^2的系数为（k+k（k-1）/2），再与x^2+2x+1中的系数相乘，1+2*(-k）+（k+k（k-1）/2）=3，得 k^2-3k-4=0∴ k1=4, k2=-1 (舍).
解法二：
设f（x）=（1+x)^2*(1-x+x^2)^k，由题意得，该式的展开式中有3x^2这一项，则f（0）的二阶导数等于6，即f‘‘（0）=6。此时要求复函数导数，高中生不宜用此法，请看解法三。
解法三：
设f（x）=（1+x)^2*(1-x+x^2)^k,由于（1+x)*(1-x+x^2)=1+x^3,则f（x）=（1+x^3）^2*(1-x+x^2)^（k-2），前一项g（x）=（1+x^3）^2展开与x^2项无关，则只需算出后一项h（x）=(1-x+x^2)^（k-2）中的平方项即可。由于是选择题，此时直接代入答案也很简单。当然，也可用导数方法算出h’’（0）=6时的k值。得（k+1）*（K-4)=0，K=4。
综上所述，方法三就简单！答案C！

Answer 2

A