Question

设 A= 1 2 2 2 1 2 2 2 1 求正交矩阵P，使PTAP成为对角形。在线等，急求助。

Answer 1

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ
2
2
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第1行减去第2行
=
-1-λ
1+λ
0
2
1-λ
2
2
2
1-λ
第2列加上第1列
=
-1-λ
0
0
2
3-λ
2
2
4
1-λ
按第1行展开
=(-1-λ)(λ²-4λ-5)=0
解得λ=5，-1，-1
当λ=5时，
A-5E=
-4
2
2
2
-4
2
2
2
-4
第1行加上第2行×2，第3行减去第2行
～
0
-6
6
2
-4
2
0
6
-6
第1行加上第3行，第2行加上第3行×3/2，第3行除以6
～
0
0
0
2
0
-2
0
1
-1
第2行除以2，交换次序
～
1
0
-1
0
1
-1
0
0
0
得到特征向量(1,1,1)^T
当λ=
-1时，
A+E=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
第2行减去第1行，第3行减去第1行，第1行除以2
～
1
1
1
0
0
0
0
0
0
得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T
正交化为(1,-1,0)^T和(1,1,-2)^T
于是正交矩阵P为
1
1
1
1
-1
1
1
0
-2

Answer 2

先分解a=ll^t，然后算出l^{-1}bl^{-t}，再把l^{-1}bl^{-t}正交对角化为qdq^t，取p=l^{-t}q即可