Question

线性代数：如何求特征值和特征向量？

Answer 1

      线性代数的学习中，掌握方法很重要。下面就为大家慢慢解析，如何求特征值和特征向量。
特征值和特征向量的相关定义
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      首先我们需要了解特征值和特征向量的定义，如下图;

nbsp;     02
      齐次性线性方程组和非其齐次线性方程组的区别，如下图;

      03
      特征子空间的定义，如下图;

      04
      特征多项式的定义，如下图;

      05
      特征值的基本性质，如下图;

齐次线性方程组解法
nbsp;     01
      齐次线性方程组的特征就是等式右边为0，以消元法简化;

nbsp;     02
      在初等数学方程组中都是有唯一解的，而在线性代数中，我们把这种情况称为方程组“系数矩阵的秩为1”，记为r(A)=1，当矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无数个解;当矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组只有零解。
      由于上诉方程组有两个未知数，而r(A)=1

非齐次线性方程组解法
nbsp;     01
      非齐次线性方程组因为不等于0，看起来很复杂，其实方法还是先用消元法简化步骤;

nbsp;     02
      这一次进行初等行变换后，对于任意的非齐次线性方程组，当 r(A)=r(A|b)=未知数的个数时，非齐次线性方程组有唯一解;当 r(A)=r(A|b)
      可见 r(A)=r(A|b)=3，所以[A|b]有唯一解，写回方程组形式:

例题解析
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      求下列矩阵的特征值和特征向量;

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      求矩阵特征值和特征向量的一般解法;

      03
      试证明A的特征值唯有1和2;

      04
      证明性问题还是需要解出特征值。

关于特征值与特征向量的理解
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      对于特征值与特征向量，总结起来大概分为三种理解: