Question

利用函数单调性证明不等式sinx>x-x^3/3!

Answer 1

令f(x)=sinx-x+x^3/3!.有f(0)=0,且f(x)为奇函数,只要证明x>0时不等式成立即可.f'(x)=cosx-1+x^2/2.有f'(0)=0,一时难以看清其正负.再求导,f''(x)=-sinx+x.由于x>sinx恒成立（以下再证,如你不能接受）所以f''(x)>0对x>0成立,f'(x)是增函数.当x>0时f'(x)>f'(0)=0,于是f(x)是增函数,当x>0时f(x)>f(0)=0,即所求证.
补证x>sinx 另g(x)=x-sinx,g'(x)=1-cosx>=0,仅孤立点等式成立,故g(x)是增函数.