Question

线性变换和矩阵

Answer 1

一个m×n的矩阵是一个由m行（row）n列（column）元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。以下是一个由6个数字元素构成的2行3列的矩阵

基本算法
矩阵的最基本运算包括矩阵加（减）法，数乘和转置运算。被称为“矩阵加法”、“数乘”和“转置”的运算不止一种，其中最基本最常用的定义如下：

矩阵的乘法满足结合律和对矩阵加法的分配律（左分配律和右分配律）：

表示为：

例子：

如果 V 和 W 是有限维的，并且在这些空间中有选择好的基，则从 V 到 W 的所有线性映射可以被表示为矩阵。反过来说，矩阵生成线性映射的例子：如果 A 是实数的 m × n 矩阵，则规定 f ( x ) = Ax 描述一个线性映射 R ⁿ → R ^m 。
一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。
基就是决定线性变换的关键。
总的来说，线性变换就是一种空间变换方法，变换时，网格线会保持平行且等距分布，原点也会保持不变，变换可描述为几个基向量移动后所处的坐标所组成的矩阵，矩阵的列就是向量的坐标

一些典型的2维实平面上的线性变换对平面矢量（图形）造成的效果，以及它们对应的2维矩阵。其中每个线性变换将蓝色图形映射成绿色图形；平面的原点(0, 0)用黑点表示：