Question

(x乘根号里(x-1) ) 分之1的不定积分

Answer 1

∫ 1/x√(x-1) dx

令z=√(x-1),dz=1/2√(x-1)dx=1/2z dx

∴dx=2zdz

原式=∫1/z(1+z²)*2zdz

=2∫1/(1+z²) dz

=2arctan(z)+C

=2arctan√(x-1)+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。

连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫ 1/x√(x-1) dx
令z=√(x-1),dz=1/2√(x-1)dx=1/2z dx
∴dx=2zdz
原式=∫1/z(1+z²)*2zdz
=2∫1/(1+z²) dz
=2arctan(z)+C
=2arctan√(x-1)+C

Answer 3

令t=√（x-1）
解得：2arctan√(x-1)

Answer 4

1+x的平方分之x的不定积分