Question

在这道题中，an-an-1是否可以等于d？

Answer 1

什么是等范数列呢？
如果是等差数列，那么有：
Sn/An = (S1/A1) + (n-1)*d = 1 + (n-1)*(1/3) = n/3 + 2/3
所以：
Sn = (n+2)/3 * An
同样：
Sn-1 = [(n-1)+2]/3 * An-1 = (n+1)/3 * An-1
那么：
Sn - Sn-1 = An = (n+2)/3 * An - (n+1)/3 * An-1
化简，得到：
(n-1) * An = (n+1) * An-1
那么：
An/An-1 = (n+1)/(n-1)
因此有：
An-1/An-2 = n/(n-2)
An-2/An-3 = (n-1)/(n-3)
……
A3/A2 = 4/2
A2/A1 = 3/1
把这些等式左、右两边分别相乘，可以得到：
An/A1 = (n+1)*n/(2*1) = n(n+1)/2
所以，通项为：
An = A1 * n(n+1)/2 = n(n+1)/2

因为：
1/An = 2/[n(n+1)] = 2 * [1/n - 1/(n+1)]
所以：
S = 1/A1 + 1/A2 + …… + 1/An
= 2 * [(1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + …… + 1/n - 1/(n+1)]
= 2 * [1 - 1/(n+1)]
= 2 - 2/(n+1)
当 n 为正整数，所以肯定有：
S = 2 - 2/(n+1) < 2