Question

求微分方程y''-4y'+5y=0的通解 (详细过程谢谢！！)

Answer 1

微分方程Y``-4Y`+5Y=0。

特征方程为：

r^2-4r+5=0。

r^2-4r+4+1=0。

(r-2)^2=-1=i^2。

特征方程两根为共轭虚根 为2+i 和 2-i 。

所以微分方程的通解为 y=e^2x{C1cosX+C2sinX} (C1,C2为任意常数)。

扩展资料：

微分方程的通解的求法：

一阶微分方程：

如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解。

二阶微分方程：

y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r，r2。 　　

1、若实根r1不等于r2。y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x)。 　　

2、若实根r1=r2。y=(c1+c2x)*e^(r1x)。

3、若有一对共轭复根。r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]。

Answer 2

直接用书上的结论即可，答案如图所示

Answer 3

由微分方程y″+4y′+4y=0的特征方程为：r2+4r+4=0解得：r1，2=-2∴通解为：y=（c1+c2x）e-2x，其中c1、c2为任意常数．