Question

2x+4y=xy+求3x+4y的最小值

Answer 1

整分式结构
2x+4y=xy得2/y+4/x=1,
3x+4y=(3x+4y)(2/y+4/x)=20+6x/y+16y/x,
当xy>0,则最小值=20+2√（6x/y16y/x=20+8√6，
速算（√12+√8）^2=(2√3+2√2)^2=20+8√6，

Answer 2

要加上条件，x和y都是正实数，才能求得最小值
2x+4y=xy
xy-2x-4y=0
x(y-2)-4(y-2)=8
(x-4)(y-2)=8
(3x-12)(4y-8)=96
原式=(3x-12)+(4y-8)+20
>=2√(3x-12)(4y-8)+20
=2√96+20
=8√6+20
当且仅当3x-12=4y-8，x=4+(4/3)*√6，y=2+√6时，原式取到最小值20+8√6

Answer 3

若x=0,则4y=0,y=0.反之，若y=0,则2x=0,x=0.此时w=3x+4y=0;
若xy≠0,则2/y+4/x=1,
w=(3x+4y)(2/y+4/x)
=20+6x/y+8y/x,
x,y同号时w≥20+8√3，当y=√3x/2时取等号，w最小值=20+8√3.
x,y异号时w≤20-8√3，当y=-√3x/2时取等号，w最大值=20-8√3.

Answer 4

2x十4y=xy
设t=3x十4y
y=(t-3x)/4
代入：
2x十t-3x=x(t-3x)/4
4(-x十t)=tx-3x²
3x²-(4十t)x十4t=0
Δ=(4十t)²-48t≥0
16十8t十t²-48t≥0
t²-40t十16≥0
根t=[40±√(40²-64)]/2
=20±√(20²-16)
=20±√(16×24)
=20±8√6
t≥20十8√6
或者t≤20-8√6
要根据其他条件确定最小值。