Question

如何证明一个函数是不是周期函数

Answer 1

证明f（x+T）=f(x)

抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式.所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.近几年高考中也常出现涉及抽象函数的题目,大多考查的是函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.而在实际教学中我感觉同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以先研究一下抽象函数的周期性问题.
预备知识: 对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T(T≠0),使f(x+T)= f(x)总成立,则f(x)是周期函数.T是f(x)的一个周期.若T是f(x)的一个周期,则kT（k∈Z且k≠0）也是f(x)的周期
一. 抽象函数周期的求法.
由于抽象函数无具体的解析式,所以应根据周期函数的定义来解决.大致分为以下几个类型:
1.型如f(x+a)=f(x+b)（a≠b）
分析: 用替换思想将条件等式化成定义形式.将原等式中的x用x-a(或x-b)来替换.得f(x-a+a)=f(x-a+b)即 f(x)=f[x+(b-a)]
所以根据周期函数的定义得f(x)是周期函数且b-a是其一个周期.
若用x-b替换x得f(x)=f[x+(a-b)]
所以f(x)是周期函数且a-b是其一个周期.
2.型如f(x)=-f(x+a)（a≠0）
分析: 条件与定义相比多了一个负号,故可用替换和代入的方法变为定义形式。将原等式中的x用x+a替换
得f(x+a)=-f(x+2a)，代入原条件等式得f(x)=-[-f(x+2a)]=f(x+2a)
所以f(x)是周期性函数且2a是其一个周期.
3.型如f(x)=1/ f(x+a) （a≠0）
分析: 与上一类型相仿用替换和代入的方法得到周期函数定义的形式.将原条件等式中的x 用x+a替换得f(x+a)=1/ f(x+2a)代入原等式得f(x)=f(x+2a)
所以f(x)是周期函数,2a是其一个周期.
从以上可发现求周期，主要是用替换与代入的思想将原条件等式化成定义的形式得到周期.
二. 抽象函数周期性与函数的奇偶性,对称性的关系.
2001年全国高考的第22题第2问就涉及这方面的知识,仔细分析发现其结论可推广,在很多函数小题中有灵活运用.
1.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.
条件B: f(x)关于x=a对称
条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.
结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.
证明: ①已知A、B→ C （2001年高考第22题第二问）
∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是其一个周期
②已知A、C→B
∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称
③已知C、B→A
∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)
∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数
看来偶函数性质加上对称性可推出同期性。那么奇函数是不是也可以呢？经分析可得：
2.定义在R上的奇函数f(x)关于x=a对称，则f(x)是周期函数，4a是其一个周期。
证明：∵定义在R上的奇函数f(x) ∴f(-x)=-f(x)
又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)
∴f(x)=-f(x+2a)再根据周期求法中的第二类型可得f(x)=f(x+4a) （替换+代入）故f(x)是周期函数，4a是其一个周期。
奇函数本身是一个中心对称图形，关于原点对称那么若f(x)关于x轴上另一点线中心对称，再加对称性是否也可推出周期性吗？经分析可得：
3 .f(x)关于(a、0)成中心对称且f(x)关于x=b成轴对称（a≠b），则f(x)是周期函数且4(b-a)是其一个周期。
若f(x)关于x轴上的两个点成中心对称呢？
4.定义在R上的f(x)关于（a、0）和（b、0）都成中心对称则f(x)是周期函数且2(b-a) 是一个周期。
证明：∵定义在R上的f(x)关于（a、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2a)
又∵定义在R上的f(x)关于（b、0）成中心对称∴f(-x)=-f(x+2b)
∴f(x)是周期函数且2(b-a) 是其一个周期
将原条件换成关于x=a，x=b对也行，结论成立。
综上可知函数的周期性、对称性、奇偶性之间的关系相当紧密，灵活运用可简化题目难度。
例1． f(x) 是R上的奇函数f(x)=- f(x+3) ，x∈[0，3/2]时f(x)=x，则 f(2003) =？
解：方法一 ∵f(x)=- f(x+3) （替换、代入）∴f(x)= f(x+6)
∴6是f(x)的一个周期 f(x)
∴f(2003)= f(334*6-1)=f(-1)=-f(1)=-1
方法二∵f(x)=-f(x+3)，f(x)是奇函数
∴f(-x)=f(x+3) ∴f(x)关于x=3/2对称 又∵f(x)是奇函数
∴6是f(x)的一个周期，以下与方法一相同。
例2． f(x)是R上的偶函数，f(1-x )=f(x+1)，x∈[-1，0]时 f(x)=Log0.5（-x）则f(2003)=？
解：∵ f(x)是偶函数，f(1-x)=f(x+1)（即f(x)关于x=1对称）
∴根据结论1得2是f(x)的一个周期
∴ f(2003)=f(2*1002-1)=f(-1)= Log0.5（1）=0
例3． f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调。求a的值。
解：∵ f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称
∵ f(x)= f(2-x) ∴ f(x)关于x=1对称
∴根据结论3得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0)
又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)
又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6) ∴a =6

Answer 2

用反证法：
假设函数是周期函数，然后推出矛盾。
则tan|x|是周期函数，则存在周期a>0，对任意x有：
tan|a+x|=tan|x|
当x>=0时
有
tan(a+x)=tanx
(tana+tanx)/(1-tanatanx)=tanx
tana(1+tan²x)=0
tana=0
a=nπ
（n为正整数)
当x=-π/4时
tan(nπ-π/4)=tan(π/4)
-tan(π/4)=tan(π/4)
-1=1
矛盾
所以
tan|x|不是周期函数