Question

4. 矩阵的逆和初等矩阵

Answer 1

先来看下矩阵的逆的定义：

我们设未知数

拆成2个矩阵和向量的乘积

最后就变成了4个未知数 4个方程的线性系统的求解
也可是看成2个小的线性系统，如下图

再观察 因为系数矩阵完全一样，所以我们可以做合并

上述我们只是求出了右逆矩阵。但是对于逆的定义是左乘和右乘都是单位矩阵，那为什么只要求右乘呢？

下面有个性质，如果一个方阵A 有右逆B，则B也是A的左逆。即B是A的逆。这个性质的证明我们留在后面再看。

下面我们来实现下求解矩阵的逆。

至此三种基本操作 都可以用矩阵的乘法来替代了。

可以进行LU分解的条件： 对A进行公司消元的过程中，不用交换2行的位置。

LU分解的作用

如果出现需要行交换的时候，需要引入置换矩阵

如果要得到2个都是上三角单位矩阵 和下三角单位矩阵，需要引入一个对角矩阵，也就是下图的D。

右乘置换矩阵