Question

求周长为√2+1的直角三角形面积的最大值。

Answer 1

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问题描述:

又一题：已知x∈(-1.1)时，f(x)=x2-ax+a/2>0一定成立，则x的取值范围是

解析:

(1)

设直角三角形的三边为a，b，c，c为斜边，则：

a^2 + b^2 = c^2 …………①

a + b + c = √2+1 …………②

①式开根号后代入②式，消去c，得：

a + b + √(a^2 + b^2) = √2+1

而 a+b >= 2√(ab)

√(a^2 + b^2) >= √(2ab)

所以：

√2+1 = a + b + √(a^2 + b^2) >= 2√(ab) + √(2ab)

解得：√(ab) <= √2/2

所以三角形面积S = ab/2 <= (1/2)/2 = 1/4

取等号的条件是 a = b = √2/2

(2)

(注意“或”和“并”的关系)

x∈(-1.1)时，f(x)=x2-ax+a/2>0一定成立，这说明：

（判别式<0）或者（“判别式>=0”且“抛物线对称轴在区间(-1,1)之外”且“f(-1)>=0”且“f(1)>=0”）

判别式 = a^2 - 2a < 0，得：0 < a < 2

“判别式>=0”得：a >= 2 或 a <= 0

“抛物线对称轴在区间(-1,1)之外”说明“a/2 >= 1 或 a/2 <= -1”

即“a <= -2 或a >= 2”

“f(-1)>=0”且“f(1)>=0”说明“1-a+a/2>=0且1+a+a/2>=0”

即“-2/3 <= a <= 2”

所以，a的范围是：

（0 < a < 2）或者（“a >= 2 或 a <= 0”且“a <= -2 或a >= 2”且“-2/3 <= a <= 2”）

即：（0 < a < 2）或者（2）

即：0 < a <= 2