Question

如何用积分求不定积分？

Answer 1

secx的不定积分：

最常用的是：

∫secxdx=ln|secx+tanx|+C

将t=sinx代人可得原式=[ln(1+sinx)-ln(1-sinx)]/2+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

• 例如计算不定积分∫1/(2+ cosx)

计算过程如下：

设t=tan(x/2)

则cosx=[cos²(x/2)-sin²(x/2)]/[cos²(x/2)+sin²(x/2)]

=[1-tan²(x/2)]/[1+tan²(x/2)]

=(1-t²)/(1+t²)



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dx=d(2arctant)=2dt/(1+t²)

故：∫1/(2+cosx)dx=∫1/[2+(1-t²)/(1+t²)]*[2dt/(1+t²)]

=∫2dt/(3+t²)

=2/√3∫d(t/√3)/[1+(t/√3)²]

=2/√3arctan(t/√3)+C



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• 再例如∫lntanx/(sinxcosx)dx

分子分母同除以cos²x

=∫sec²x*lntanx/tanxdx

=∫lntanx/tanx d(tanx)

=∫lntanxd(lntanx)

=(1/2)ln²(tanx)+C。



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• 再例如∫cscxdx

=∫1/sinxdx

=∫1/[2sin(x/2)cos(x/2)]dx，两倍角公式

=∫1/[sin(x/2)cos(x/2)]d(x/2)

=∫1/tan(x/2)*sec²(x/2)d(x/2)

=∫1/tan(x/2)d[tan(x/2)]，注∫sec²(x/2)d(x/2)=tan(x/2)+C

=ln|tan(x/2)|+C。



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• 不定积分

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。



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