Question

已知圆C：x2+y2-2y-4=0，直线l：y=mx+1-m；

Answer 1

解题思路：（1）由直线系方程求得直线过定点，再由定点在圆内得结论；
（2）由弦长及圆的半径求得弦心距，再由圆心到直线的距离列式求得m的值，则直线l的倾斜角可求．

（1）证明：圆C：x2+y2-2y-4=0可化为：x2+（y-1）2=5．
由直线l：y=mx+1-m，得m（x-1）-y+1=0，
由

x−1＝0
−y+1＝0，得

x＝1
y＝1．
∴直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），
代入圆C：x2+（y-1）2=5，得12+（1-1）2=1＜5，
∴点P（1，1）在圆C：x2+（y-1）2=5内部，
∴对任意的m，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x2+（y-1）2=5得：y1=-1，y2=3，
此时|AB|=4，不满足题意；
∴直线l的斜率存在，
由|AB|=
17，圆的半径为
5，得圆心到直线l：mx-y+1-m=0的距离为
5−
17
4=

点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查了直线与圆的方程的应用，考查了直线系方程，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的用法，体现了数学转化思想方法，是中档题．