有界闭区间上的连续函数一定是有界函数吗?
对,若函数f在闭区间上连续,则f在上有界,判断函数是否有界有三种方法:
1、理论法:若f(x)在定义域[a,b]上连续,或者放宽到常义可积(有限个第一类间断点),则f(x)在[a,b]上必然有界。
2、计算法:切分(a,b)内连续,limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在;limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 则f(x)在定义域[a,b]内有界。
3、运算规则判定:在边界极限不存在时,有界函数 ±± 有界函数 = 有界函数 (有限个,基本不会有无穷个,无穷是个难分高低的状态)有界 x 有界 = 有界。
4、函数极限判断:因为函数在开区间上连续,所以在开区间内部的任一闭区间上函数都有界。能不能再扩大到整个开区间上也有界,关键是看函数在右端点处的左极限和左端点处的右极限。
扩展资料
二元连续函数的有界性定理:
若二元函数在有界闭域上连续,则函数在上有界,即存在正数M,对于任意,有。
假设二元连续函数在有界区域D上是无界的。设D的直径为,选取D的一条直径,以该直径为边长,作一个正方形,使得D完全包含在该正方形中,然后分别连接该正方形两组对边的中点,则这两条连线会将该正方形四等分,而有界闭域D会被分为有限个小区域。
由于在有界闭域D上无界,则至少存在某个小闭域,使在该小闭域上是无界的,记该小闭域为,直径为,则,且 。
参考资料:百度百科—有界性定理
2024-12-24 广告