Question

有理函数的积分

1.∫1/(1+2sinx)dx 2.∫1/(1+tanx)dx 3.∫1/((x+1)^(1/2)+(x+1)^(1/3))dx 4.∫1/(5+4cos2x)dx 5.∫1/(sinxcosx^3)dx

Answer 1

答：
2.
令tanx=t，则x=arctant，dx=dt/(1+t^2)。
原积分
=∫1/(1+t)*1/(1+t^2) dt
=1/2*∫[1/(1+t)+(1-t)/(1+t^2)] dt
=1/2ln|1+t|+1/2arctant-1/4ln(1+t^2) + C
=1/2ln|1+tanx|+x/2+1/2ln|cosx|+ C
=1/2(x+ln|sinx+cosx|) + C

3.
令t=(x+1)^(1/6)，则x=t^6-1，dx=5t^5dt
原积分
=∫ 5t^5/(t^3+t^2) dt
=5∫ [(t^3+t^2)-(t^2+t)+(t+1)-1]/(t+1) dt
=5∫ t^2-t+1-1/(t+1) dt
=5t^3/3-5t^2/2+5t-5ln|1+t| + C
=5(x+1)^(1/2)/3-5(x+1)^(1/3)/2+5(x+1)^(1/6)-5ln((x+1)^(1/6)+1) + C

4.
令tanx=t，则x=arctant，cost=1/√(1+t^2)，dx=dt/(1+t^2)
原积分
=∫1/(1+8(cosx)^2)dx
=∫ dt/(9+t^2)
=1/9 ∫ dt/(1+(t/3)^2)
=1/3 ∫ d(t/3)/(1+(t/3)^2)
=1/3arctan(t/3)
=1/3arctan((tanx)/3) + C

5.是(cosx)^3吧？
原积分
=∫[(sinx)^2+(cosx)^2]/(sinx(cosx)^3) dx
=∫ sinx/(cosx)^3 + 1/(sinxcosx) dx
=1/(2(cosx)^2) + 2∫1/(sin2x) dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|cot2x-csc2x| dx
=1/(2(cosx)^2) + ln|tanx| dx

形如∫R(sinx,cosx)dx（式中R为有理函数）的积分一般情形可用代换tan(x/2)=t化为有理函数积分。
（1）若等式R(-sinx,cosx)≡-R(sinx,cosx)，则最好用代换cosx=t；
R(sinx,-cosx)≡-R(sinx,cosx)，则最好用代换sinx=t。
（2）若等式R(-sinx,-cosx)≡R(sinx,cosx)成立，则最好用代换tanx=t。

上面第2，4题满足（2）情况，第1题满足（1）情况，就是最好令cosx=t，但是我没做出来。
公式如下：
∫1/(1+εx)dx 当0<ε<1时
=2/√(1-ε^2)arctan(tan(x/2)√((1-ε)/(1+ε))) + C；
∫1/(1+εx)dx 当0ε>1时
=1/√(ε^2-1)ln|[ε+cosx+sinx√(ε^2-1)]/(1+εcosx)| + C.
第1题因为sinx=cos(x-π/2)，代入上式可得到答案：
=1/√3 ln|[2+cos(x-π/2)+√3sin(x-π/2)]/(1+2cos(x-π/2))|
=1/√3 ln|[2+sinx-√3cosx]/(1+2sinx)|
求导后检验正确。