Question

直线与椭圆有什么关系？

Answer 1

设直线y=kx+b

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)，则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]，把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入。

则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0;）

直线：Ax+By+C=0;

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1;

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0;

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2);

n=2*B*C;

p=C^2-A^2*a^2;

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2);

n1=2*AC;

p1=C^2-B^2*b^2;

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m;

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

扩展资料

1、在处理直线与椭圆的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去y（或x）化为关于x（或y）的一元二次方程。

设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将x1+x2,x1x2表示出来，注意判别式大于零不能丢。

再通过配凑将其化为关于x1+x2与x1x2的式子，将x1+x2，x1x2代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题。

2、在处理直线与椭圆位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为x=my+n，避免分类讨论。

参考资料来源：百度百科-椭圆弦长公式