Question

谈谈＂求线段交点＂的几种算法

Answer 1

　　求线段交点 是一种非常基础的几何计算 在很多游戏中都会被使用到

　　下面我就现学现卖的把最近才学会的一些 求线段交点 的算法说一说 希望对大家有所帮助

　　本文讲的内容都很初级 主要是面向和我一样的初学者 所以请各位算法帝们轻拍啊 嘎嘎

　　引用已知线段 （a b） 和线段 （c d） 其中a b c d为端点 求线段交点p （平行或共线视作不相交）

　　算法一 求两条线段所在直线的交点 再判断交点是否在两条线段上

　　求直线交点时 我们可通过直线的一般方程 ax+by+c= 求得（方程中的abc为系数 不是前面提到的端点 另外也可用点斜式方程和斜截式方程 此处暂且不论）

　　然后根据交点的与线段端点的位置关系来判断交点是否在线段上 公式如下图

　　  

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　　算法二 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧 是则求出两条线段所在直线的交点 否则不相交

　　第一步判断两个点是否在某条线段的两侧 通常可采用投影法

　　求出线段的法线向量 然后把点投影到法线上 最后根据投影的位置来判断点和线段的关系 见下图

　　 

　　点a和点b在线段cd法线上的投影如图所示 这时候我们还要做一次线段cd在自己法线上的投影（选择点c或点d中的一个即可）

　　主要用来做参考

　　图中点a投影和点b投影在点c投影的两侧 说明线段ab的端点在线段cd的两侧

　　同理 再判断一次cd是否在线段ab两侧即可

　　求法线 求投影 什么的听起来很复杂的样子 实际上对于我来说也确实挺复杂 在几个月前我也不会（念书那会儿的几何知识都忘光了 （ ） 不过好在学习和实现起来还不算复杂 皆有公式可循

　　求线段ab的法线

　　JavaScript Code复制内容到剪贴板var nx=b y a y ny=a x b x var normalLine = {  x nx y ny } 注意 其中 normalLine x和normalLine y的几何意义表示法线的方向 而不是坐标

　　求点c在法线上的投影位置

　　JavaScript Code复制内容到剪贴板var dist= normalLine x*c x + normalLine y*c y

　　注意 这里的 投影位置 是一个标量 表示的是到法线原点的距离 而不是投影点的坐标

　　通常知道这个距离就足够了

　　当我们把图中 点a投影（distA） 点b投影（distB） 点c投影（distC） 都求出来之后 就可以很容易的根据各自的大小判断出相对位置

　　distA==distB==distC 时 两条线段共线distA==distB！=distC 时 两条线段平行distA 和 distB 在distC 同侧时 两条线段不相交

　　distA 和 distB 在distC 异侧时 两条线段是否相交需要再判断点c点d与线段ab的关系

　　前面的那些步骤 只是实现了 判断线段是否相交 当结果为true时 我们还需要进一步求交点

　　求交点的过程后面再说 先看一下该算法的完整实现

　　JavaScript Code复制内容到剪贴板function segmentsIntr（a b c d）{

　　//线段ab的法线N var nx = （b y a y） ny = （a x b x）

　　//线段cd的法线N var nx = （d y c y） ny = （c x d x）

　　//两条法线做叉乘 如果结果为 说明线段ab和线段cd平行或共线 不相交var denominator = nx *ny ny *nx if （denominator== ） { return false }

　　//在法线N 上的投影var distC_N =nx * c x + ny * c y var distA_N =nx * a x + ny * a y distC_N var distB_N =nx * b x + ny * b y distC_N

　　// 点a投影和点b投影在点c投影同侧 （对点在线段上的情况 本例当作不相交处理） if （ distA_N *distB_N >=   ） { return false }

　　// //判断点c点d 和线段ab的关系 原理同上// //在法线N 上的投影var distA_N =nx * a x + ny * a y var distC_N =nx * c x + ny * c y distA_N var distD_N =nx * d x + ny * d y distA_N if （ distC_N *distD_N >=   ） { return false }

　　//计算交点坐标var fraction= distA_N / denominator var dx= fraction * ny dy= fraction * nx return { x a x + dx y a y + dy } }

　　最后 求交点坐标的部分 所用的方法看起来有点奇怪 有种摸不著头脑的感觉

　　其实它和算法一 里面的算法是类似的 只是里面的很多计算项已经被提前计算好了

　　换句话说 算法二里求交点坐标的部分 其实也是用的直线的线性方程组来做的

　　现在来简单粗略 很不科学的对比一下算法一和算法二 最好情况下 两种算法的复杂度相同 最坏情况 算法一和算法二的计算量差不多 但是算法二提供了 更多的 提前结束条件 所以平均情况下 应该算法二更优

　　实际测试下来 实际情况也确实如此

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　　算法三 判断每一条线段的两个端点是否都在另一条线段的两侧 是则求出两条线段所在直线的交点 否则不相交

　　（咦？ 怎么感觉和算法二一样啊？ 不要怀疑 确实一样 …… 囧）

　　所谓算法三 其实只是对算法二的一个改良 改良的地方主要就是 不通过法线投影来判断点和线段的位置关系 而是通过点和线段构成的三角形面积来判断

　　先来复习下三角形面积公式 已知三角形三点a（x y） b（x y） c（x y） 三角形面积为

　　JavaScript Code复制内容到剪贴板var triArea=（ （a x c x） * （b y c y） （a y c y） * （b x c x） ） /

　　因为 两向量叉乘==两向量构成的平行四边形（以两向量为邻边）的面积 所以上面的公式也不难理解

　　而且由于向量是有方向的 所以面积也是有方向的 通常我们以逆时针为正 顺时针为负数

　　改良算法关键点就是 如果 线段ab和点c构成的三角形面积 与 线段ab和点d构成的三角形面积 构成的三角形面积的正负符号相异 那么点c和点d位于线段ab两侧 如下图所示

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