Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，圆O是它的内切圆，与AB,BC,CA分别且于点D，E，F，?

Answer 1

可以有几种解法，最简单的解法是列出分部面积之和等于总面积的方程来求解。
首先，连接AQ、BQ、CQ，可以见到，S△ABC=S△AQC+S△AQB+S△BQC。
设内切圆半径为r,由于切线垂直于过切点的半径，故可根据上述等式列出如下方程：
3×4/2=3r/2+4r/2+5r/2
变形，12=3r+4r+5r=12r,则r=1
即：圆O的半径为1.
一般地，若一个直角三角形三边长分别为a、b、c(斜边),则其内切圆半径r=ab/(a+b+c)

连接OD、OE、OF、由题意可知它们分别垂直于三边，连接OA,OB,OC
因为AB=3,AC=4，所以BC=5
S△ABC=1/2AB×AC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=1/2AB×OD+1/2BC×OE+1/2AC×OF
由题意可得OD=OE=OF
所以1/2×3×4=1/2OD(AB+BC+AC)=1/2(3+4+5)=6
得OD=1即半径为1