Question

为什么a的行列向量组线性无关则a可逆?

Answer 1

因为：一个方矩阵是否可逆的等价条件之一就是该方矩阵是否是一个满秩矩阵，只有满秩的方矩阵是可逆的，而如果一个方矩阵是满秩的，就说明该矩阵的行向量组与列向量组都是线性无关的。

矩阵可逆的其他等价条件:

1、一个方阵A的列(行)向量组线性无关则表示Ax=0方程组仅有零解

2、根据克拉默法则，若齐次线性方程组仅有零解，则系数行列式不为零

3、而行列式不为零是一个矩阵可逆的充要条

综上所述，A的行列向量组线性无关，则矩阵A可逆。

克莱姆法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。

克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系。

应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解。

（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零。

克莱姆法则的局限性：

（1）：当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。

（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。