Question

实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗

Answer 1

实对称矩阵相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如：n×n阶单位矩阵E是实对称矩阵，且任何n维向量都是E的特征向量，但不能说任何两个n维向量都是正交的，属于单位阵E的某个特征值的特征向量有的相互正交，也有的不相互正交。

实对称矩阵的主要性质：

1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4、若λ具有k重特征值　必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

扩展资料：

正交矩阵的相关性质

1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

4、A的列向量组也是正交单位向量组；

5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。

参考资料来源：百度百科-实对称矩阵