Question

∫π/2(1+x)²÷(1+x²)dx求不定积分

Answer 1

这个不定积分可以使用替换法来求解。
令 u = 1 + x。这意味着 du = dx，所以积分变成：
∫π/2(u²)÷(u² - 1)du
然后，可以将积分重写如下：
∫π/2(u + 1 - 1)÷(u² - 1)du
= ∫π/2(u÷(u-1) - 1÷(u+1))du
= ∫π/2(u÷(u-1))du - ∫π/2(1÷(u+1))du
右边第一个积分可以使用替换法再次求解。令 v = u - 1，则 dv = du。然后积分变成：
∫π/2(v + 1)dv
= ∫π/2vdv + ∫π/2dv
= (1/2) ∫πv²dv + (1/2) ∫πdv
= (1/2) ∫π(v² + 1)dv - π/2
= (1/2) ∫π(u - 1)²du - π/2
= (1/2) ∫π(u² - 2u + 1)du - π/2
= (1/2) ∫πu²du - (1) ∫πudu + (1/2) ∫πdu - π/2
= (1/2) ∫π(u²)÷(u² - 1)du - ∫π(u÷(u+1))du + (1/2) ∫πdu - π/2
使用一开始的替换，这就变成了：
(1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - ∫π/2(u÷(u+1))du + (1/2) ∫π/2du - π/2
= (1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - ∫π/2(u÷(u+1))du + (π/4) - π/2
= (1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - (1/2) ∫π/2(u÷(u+1))du - π/4
(1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - (1/2) ∫π/2(u÷(u+1))du - π/4
所以，最终的结果是：
(1/2) ln|1 + x - 1| - (1/2) ln|1 + x + 1| - π/4 + C
其中 C 是常数。
替换回 u，最终的结果是：
(1/2) ln|u - 1| - (1/2) ln|u + 1| - π/4 + C
= (1/2) ln|(1 + x) - 1| - (1/2) ln|(1 + x) + 1| - π/4 + C
= (1/2) ln|x| - (1/2) ln|x + 2| - π/4 + C
所以，原来的不定积分为：
(1/2) ln|x| - (1/2) ln|x + 2| - π/4 + C
其中 C 是常数。
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