∫π/2(1+x)²÷(1+x²)dx求不定积分

 我来答
胜读十年书Lotus
2022-12-17
知道答主
回答量:24
采纳率:0%
帮助的人:1万
展开全部
这个不定积分可以使用替换法来求解。
令 u = 1 + x。这意味着 du = dx,所以积分变成:
∫π/2(u²)÷(u² - 1)du
然后,可以将积分重写如下:
∫π/2(u + 1 - 1)÷(u² - 1)du
= ∫π/2(u÷(u-1) - 1÷(u+1))du
= ∫π/2(u÷(u-1))du - ∫π/2(1÷(u+1))du
右边第一个积分可以使用替换法再次求解。令 v = u - 1,则 dv = du。然后积分变成:
∫π/2(v + 1)dv
= ∫π/2vdv + ∫π/2dv
= (1/2) ∫πv²dv + (1/2) ∫πdv
= (1/2) ∫π(v² + 1)dv - π/2
= (1/2) ∫π(u - 1)²du - π/2
= (1/2) ∫π(u² - 2u + 1)du - π/2
= (1/2) ∫πu²du - (1) ∫πudu + (1/2) ∫πdu - π/2
= (1/2) ∫π(u²)÷(u² - 1)du - ∫π(u÷(u+1))du + (1/2) ∫πdu - π/2
使用一开始的替换,这就变成了:
(1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - ∫π/2(u÷(u+1))du + (1/2) ∫π/2du - π/2
= (1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - ∫π/2(u÷(u+1))du + (π/4) - π/2
= (1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - (1/2) ∫π/2(u÷(u+1))du - π/4
(1/2) ∫π/2(u²)÷(u² - 1)du - (1/2) ∫π/2(u÷(u+1))du - π/4
所以,最终的结果是:
(1/2) ln|1 + x - 1| - (1/2) ln|1 + x + 1| - π/4 + C
其中 C 是常数。
替换回 u,最终的结果是:
(1/2) ln|u - 1| - (1/2) ln|u + 1| - π/4 + C
= (1/2) ln|(1 + x) - 1| - (1/2) ln|(1 + x) + 1| - π/4 + C
= (1/2) ln|x| - (1/2) ln|x + 2| - π/4 + C
所以,原来的不定积分为:
(1/2) ln|x| - (1/2) ln|x + 2| - π/4 + C
其中 C 是常数。
希望能帮助到你! 给点个赞吧,哈哈
实验室通用仪器
2024-09-29 广告
Brookfield RVDV-S+和LVDV-S+粘度计的区别主要体现在粘度范围和精度等方面。1. 粘度范围:RVDV-S+高粘度旋转粘度计的粘度范围为100~13000000cp,而LVDV-S+低粘度旋转粘度计的粘度范围为 1~200... 点击进入详情页
本回答由实验室通用仪器提供
推荐律师服务: 若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询

为你推荐:

下载百度知道APP,抢鲜体验
使用百度知道APP,立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×

类别

我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。

说明

0/200

提交
取消

辅 助

模 式