Question

已知a,b,c为三角形的三边,求证:方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²+=0没有实数根

Answer 1

由题
△＝(a²+b²-c²)²－4a²b²
＝(a²+b²-c²+2ab)(a²+b²-c²-2ab)
＝[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
＝(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
因为，a,b,c为
三角形的三边
，
所以，a、b、c均大于0
而任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
所以，a+b+c>0，a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0
即，△<0
所以，方程a²x²+(a²+b²-c²)x+b²=0没有
实数根

Answer 2

如果是高中学完必修5第一章解三角形之后，那可以这样解：
由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosc
∴原方程可化为：a²x²+2abcosc
x
+b²=0
判别式△=b²-4ac=(2abcosc)²-4a²b²=4a²b²(cosc-1)
因为0＜c＜180°
∴cosc＜1
∴cosc-1＜0，∴△=4a²b²(cosc-1)＜0
∴原方程无实数根