Question

古埃及人的分数表示体系

古埃及人的符号要求他们须将任何一个分数表示为若干分子为一的分数之和（2/3有特殊符号），以下是从莱登纸草上摘抄的古埃及人分数表示表：
2/5=1/3+1/15
2/7=1/4+1/28
2/9=1/6+1/18
...2/99=1/66+1/198
则按此表，有7/29=1/29+2/29+2/29+2/29=1/6+1/24+1/58+1/87+1/232
那么，埃及人是怎么编出上表的，为什么要这样编（显然还可以有别的形式），最合理的理由是，这样的体系是使用最少的分子为一的分数表示任意分数的体系，谁能够给出证明呢？另外，这个体系是怎么操作的？比如谁可以解释一下7/29的表示是怎么查表得出的？希望高手能够帮忙。衷心感谢！
敬请高手回答，请不要浪费我的感情，但是还是要感谢热心人，不过我不是数学家，但有这个渴望，嘿嘿，谢谢。二楼显然未明白我的意思。七楼的是最基本的方法，但我竟然没有式，看来这的确不是最优展式，但谁能看出古埃及人编表的规律，从而推出表中2/29的表示法，进而告诉我7/29是怎么得到的？？
谁能找到莱登纸草内容的全部，最好上大型学术网站找，定重谢。

Answer 1

这个我听说过。楼主说“这样的体系是使用最少的分子为一的分数表示任意分数的体系”就是数学中的所谓“最优展式”。但古埃及的莱登纸草上的并不都是最优展式！所以古埃及人恐怕还没有形成一套特别科学合理的方法体系。

这个问题的系统研究好像到现在也远未完成。比如把1分解成分母为不同奇数的最优展式直到1976年才解决，有九项：1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231.

呵呵，楼主要是能解决这个问题的话也算解决了一个世界难题了吧！你对数学的热情很赞啊。

注：以下是看了楼下的内容和拓拔断尘贴的原文后想到的

rufeel的方法确实可行（呵呵，和楼主一样，我也奇怪这么简单的方法竟然没想到），证明如下：

对于任意分数q/p（不妨设其既约，即正整数p,q最大公约数为1），一定存在一个正整数n 使得1/n<q/p<1/(n-1).则0<nq-p<q.
容易验证q/p=1/n+(nq-p)/pn.式中分子nq-p小于q.于是上述手续可以反复执行，直至分子为1（严格些可以用数学归纳法证明）。于是我们证明了: q/p一定可以分解为有限个正整数的倒数和，且这些正整数个数不超过q.

不过rufeel最后说的证明思路有问题。他说的“那么X=1/n1 + 1/n2 + 1/n3 + …… 通分后，分数线上下都是无穷大，这种数不会是有理数的”这句话是不对的。比如1/3+1/9+1/27+…+1/(3^n)+…这个无穷级数的和就是一个有理数1/2. 其中道理你学极限之后就明白了。

另外，我看了拓拔断尘贴的原文后，觉得古埃及人实际上并没想求最优展式，只是想得到一种分母无重复的表示法而已。所以他们列出了分子为2，分母为奇数的分数的展式，然后把分子拆成一些1与2的和。但至于怎么把1/29+2/29+2/29+2/29化简为1/6+1/24+1/58+1/87+1/232 我就想不通了。

还有一个值得研究的问题是古埃及人把2/a(a是奇数)分成两个整数倒数和的规律是什么。按我刚证明的rufeel的方法，2/(2t-1)一定可以分解为1/t+1/t(2t-1).但与兰登纸草上的分解是并不全吻合，比如1/9的分解式。不过，我发现，在所给的四个分解中，分母较大者与较小者的商是原来分母的最小质因数！按此规律猜测，古埃及人分解2/a(a是奇数)的两个数的分母分别为a(p+1)/2p与a(p+1)/2，其中p是a的最小质因数。不过我现在只知道四个数的分解式，还不能肯定这个猜测属实。

最后补充一个有趣的结论：完全数的所有约数的倒数和为2。

Answer 2

我认为将2/n的展开式算出(n为素数),编一个表
就查表就算
http://www.10000ok.com/Whedu/Print.asp?ArticleID=2427
上已经说明了

古埃及人已经发明了草纸,估计不成问题

rufeel的方法太麻烦,

2/5=1/3+1/15
2/7=1/4+1/28
2/9=1/6+1/18
...2/99=1/66+1/198
中,5和3的最小公倍数为15,2/5=1/3+1/15,7和4的最小公倍数为28,2/7=1/4+1/28,9和6的最小公倍数为18,2/9=1/6+1/18.按此来说,2/11=1/n+1/(11n),n=6,2/11=1/6+1/66.可算得2/n的所有展开式

3/n的展开式可以这样算:比如3/7,3/7=3/(7+1)+3/56,3/8=3/9+1/24,3/56=3/57+1/1064,这样的话3/7=1/3+1/24+1/19+1/1064一共四项,2/n的展开式也能这样算,2/11=2/12+1/66=1/6+1/66,但7/29如果这样算,一共有64项,不是一种好方法

如果可以用减法来表示,7/29=1/4-1/116,这样的话比较简便

我会把我的随后的研究发表在我的空间上,有机会可以看一看

Answer 3

比如一个小数A(0<A<1)
一定存在一个正整数n
使得
1/n<A<1/(n+1)
那么设B=A-1/n
再用同样的方法求出C，D……有的可能就能求完

比如7/29，用这种方法处理后就是
7/29=1/5 + 1/25 + 1/725

再比如5/68（我随机想的）
5/68=1/14 + 1/476

再来一个25/488（也是我随机想的）
25/488=1/20+1/814+1/993080

以上都是我自己想的，至于为什么我也不知道（突然想出来的嘛……）。
这种方法你可以试一试……

有个反证的方法（刚想的，我也不知道对不对，你自己试试~~）：

假如一个数X，它不能分解成有限项的1/n形式的分数和
那么X=1/n1 + 1/n2 + 1/n3 + ……
通分后，分数线上下都是无穷大，这种数不会是有理数的。

我觉得能证明这个命题吧……可能有点不严谨，但意思是这个。

Answer 4

可参见《数学史》
1958年由伦敦Taylor and Francis 股份有限公司出版。作者J．F．斯科特当时是英国Middlesex地区的圣玛丽学院副院长，曾获得文学学士、哲学博士、理学博士学位，是著名的数学史家（我以为，他根本还应该是跨学科的博学家）。对这个问题有很详细的说明。参见下面5张图。

A http://album.sina.com.cn/pic/4c251baa02000mt2
B http://album.sina.com.cn/pic/4c251baa02000mt3
C http://album.sina.com.cn/pic/4c251baa02000mt4
D http://album.sina.com.cn/pic/4c251baa02000mt7
E http://album.sina.com.cn/pic/4c251baa02000mt6

Answer 5

这个显然是古人的数学热情
就跟编素数表差不多的