Question

10椭圆x/4+y=1, 则该椭圆所有斜率为 1/2的弦的中点的

Answer 1

该椭圆方程为：
(x^2)/16 + (y-1)^2 = 1
设斜率为 1/2 的直线方程为 y = (1/2)x + b，可将其化为标准式：
x - 2y + 2b = 0
设该直线与椭圆交于点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则有：
(x1^2)/16 + (y1-1)^2 = 1
x1 - 2y1 + 2b = 0
(x2^2)/16 + (y2-1)^2 = 1
x2 - 2y2 + 2b = 0
将第一条式子乘以 4，得到：
x1^2 + 4(y1-1)^2 = 4
将第二条式子中的 x1 带入第三条式子中，得到：
(x1^2)/16 + (y2-1)^2 = 1
将第三条式子中的 x1 带入第二条式子中，得到：
x2 - 2y1 + 2b = 0
将第四条式子中的 x2 带入第三条式子中，得到：
(x2^2)/16 + (y2-1)^2 = 1
将第三条式子乘以 4，得到：
x2^2 + 4(y2-1)^2 = 4
将第四条式子中的 y2 带入上式中，得到：
x2^2 + 4[(x1/4)-1]^2 = 4
化简上式，得：
x2^2 + x1^2/4 - 2x1 + 3 = 0
因为该直线为椭圆的弦，所以 (x1, y1) 和 (x2, y2) 均为椭圆的点，代入椭圆方程，得到：
(x1^2)/16 + (y1-1)^2 = 1
(x2^2)/16 + (y2-1)^2 = 1
将第一条式子代入上式，得到：
(x2^2)/16 + [1±sqrt(15)/4(x1/4-1)]^2 = 1
其中的 ± 取决于斜率为正或负。因为问题中并未给定弦是往左或右斜的，所以无法确定斜率的正负，最后取正和负两种情况分别计算中点的坐标。
令 t = x1/4 - 1，将上述式子代入，得到：
方案一：斜率为 1/2，(x1, y1) 为椭圆上的点
x2 = 4√3/3，y2 = 4/3
x3 = -4√3/3，y3 = -2/3
所以两个弦的中点分别为：
M1：[2√3/3, (y1+y2)/2] ≈ [0.7746, 0.1667]
M2：[-2√3/3, (y1+y3)/2] ≈ [-0.7746, 0.1667]
方案二：斜率为 -1/2，(x1, y1) 为椭圆上的点
x2 = -4√3/3，y2 = 4/3
x3 = 4√3/3，y3 = -2/3
所以两个弦的中点分别为：
M1：[-2√3/3, (y1+y2)/2] ≈ [-0.7746, 0.1667]
M2：[2√3/3, (y1+y3)/2] ≈ [0.7746, 0.1667]
因此，在两种情况下，所有斜率为 1/2 的弦的中点坐标分别为 [-0.7746, 0.1667] 和 [0.7746, 0.1667] 。