Question

周期函数的对称性和周期性如何体现

Answer 1

1:对称性：一个函数：f(a+x)=f(b-x)成立，f(x)关于直线x=(a+b)/2对称
f(a+x)+f(b-x)=c成立，f(x)关于点（(a+b)/2，c/2）对称
两个函数：y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于直线x=(b-a)/2对称
证明：取一点(m,n)在函数上，证明经过对称变换的点仍在函数上
如中心对称公式证明：取一点(m,n)在函数上，对称点为(a+b-m,c-n)
f(a+(b-m))+f(b-(b-m)=c 则f(a+(b-m))+n=c,也就是说f(a+(b-m))=c-n 对称点也在函数上

2.周期性:f(x+A)= －f(x) 周期2A
f(x+A)= ＋或－ 1/f(x) 周期2A
证明：设周期为nA，f(x+nA)=........=f(x)

3,周期性与对称性同时出现，求周期（定义在R上函数），此时画图可以得到直观答案。
关于x=a,x=b对称 周期 2(a-b)
关于(a,0)和x=b对称 周期4(a-b)
如证明关于(a,0)和x=b对称 周期4(a-b)：f(x)= - f(2a-x)
f(x)=f(2b-x)
- f(2a-x) =f(2b-x)
- f(2a+x) =f(2b+x)
f(x+4(a-b))= - f(x+2a-2b)=f(x)
例题 y=f(x)满足f(x+1)=f(1-x)和f(x+3)=f(3-x)周期为4
证明 f(x+1)=f(1-x)=f(3+(-2-x))=f(3-(-2-x))=f(x+5)