一阶导数和二阶导数的差别是什么
二阶及二阶以上的导数统称为n阶导数。
(1)一是对抽象函数高阶导数计算,随着求导次数的增加,中间变量的出现次数会增多,需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。
(2)二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的,当求导次数较高或求任意阶导数时,逐阶求导实际是行不通的,此时需研究专门的方法。
常见n阶导数
1、幂函数常见形式是y=x^n,它的n阶导数是n!. n为正整数,而对任何比n小的正整数m,幂函数y=x^m的n阶导数都等于0,包括常数函数的一阶的导数等于0,所以n阶导数也等于0。
对特殊的幂函数y=1/x, 它的n阶导数是(-1)^n×(n!)/x^(n+1); y=1/(1+x)的n阶导数类似的为(-1)^n×(n!)/(1+x)^(n+1);而y=1/(1-x)的n阶导数就会有所变化,它的n阶导数是(n!)/(1-x)^(n+1)。
2、对数函数最常见的形式是y=lnx, 它的n阶导数正好是1/x的n-1阶导数,这是因为lnx的一阶导数就是1/x. 所以y=lnx的n阶导数是(-1)^(n-1)*((n-1)!)/x^n。
一般的对数函数形式是log_a x, 它的一阶导数是1/(xlna), 所以n阶导数是(-1)^(n-1)×((n-1)!)/(x^n×lna)。
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