Question

为什么f(x)三阶可导，只能用2次洛必达呢？

Answer 1

第一句是对的，二阶可导并不能说明二阶导函数连续。举个例子：设f(x)二阶可导，且f(0)=0,f'(0)=0,那么limx→0[f(x)/x^2]=limx→0[f'(x)/2x]
如果下面再用罗比达就是limx→0[f'(x)/2x]=limx→0[f''(x)/2]=(1/2)limx→0[f''(x)]这极限不一定等于f''(0)，所以不能用罗比达进行limx→0[f'(x)/2x]=limx→0[f''(x)/2]=(1/2)limx→0[f''(x)]=(1/2)f''(0)，应该是limx→0[f'(x)/2x]=(1/2)limx→0{[f'(x)-f'(0)]/(x-0)}=(1/2)f''(0)。即利用导数的定义来求。好像就是这样吧。可以参考函数f(x)在x0处带有皮亚诺型余项的泰勒公式的展开式的证明。

Answer 2

l'hospital
对于一阶就要求导函数在某点的邻域连续。
那么如果是三阶的话，就要求三阶导在某领域连续，但是如果题目只说是存在三阶导，那么就不能导到三阶了！
除非他说“三阶导存在，且连续”